Nonlinear.Waves.and.Solitons.on.Contours.and.Closed.Surfaces,.Ludu,.2ed,.Springe.pdf

Nonlinear.Waves.and.Solitons.on.Contours.and.Closed.Surfaces,.Ludu,.2ed,.Springer,.2012

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Part I Mathematical Prerequisites
1 Introduction .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Introduction to Soliton Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Algebraic and Geometric Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 A List of Useful Derivatives in Finite
Dimensional Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Mathematical Prerequisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Elements of Topology .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Separation Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Compactness .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Weierstrass–Stone Theorem.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 Connectedness, Connectivity, and Homotopy .. . . . . . . . . . . . 17
2.1.5 Separability and Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.6 Metric and Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Elements of Homology.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Group Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 The Importance of the Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 The Power of Compact Boundaries:
Representation Formulas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Representation Formula for n D 1:
Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2 Representation Formula for n D 2: Cauchy Formula .. . . . 24
3.1.3 Representation Formula for n D 3: Green Formula . . . . . . 25
3.1.4 Representation Formula in General: Stokes Theorem . . . . 26
3.2 Comments and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Vector Fields, Differential Forms, and Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 Manifolds and Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Differential and Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
xi
xii Contents
4.3 Existence and Uniqueness Theorems: Differential
Equation Approach .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 Existence and Uniqueness Theorems: Flow Box Approach.. . . . . . . 45
4.5 Compact Supported Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6 Differential Forms and the Lie Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.7 Differential Systems, Integrability and Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.8 Poincar′e Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.9 Fiber Bundles and Covariant Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.9.1 Principal Bundle and Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.9.2 Connection Form and Covariant Derivative .. . . . . . . . . . . . . . 61
4.10 Tensor Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.11 The Mixed Covariant Derivative.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.12 Curvilinear Orthogonal Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.13 Special Two-Dimensional Nonlinear Orthogonal Coordinates . . . . 75
4.14 Problems .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Geometry of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1 Elements of Differential Geometry of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Closed Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3 Curves Lying on a Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4 Problems .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Geometry of Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1 Elements of Differential Geometry of Surfaces.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2 Covariant Derivative and Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3 Geometry of Parameterized Surfaces Embedded in R3 . . . . . . . . . . . . 110
6.3.1 Christoffel Symbols and Covariant
Differentiation for Hybrid Tensors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4 Compact Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.5 Surface Differential Operators .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5.1 Surface Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5.2 Surface Divergence .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5.3 Surface Laplacian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.5.4 Surface Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.5.5 Integral Relations for Surface Differential Operators .. . . . 124
6.5.6 Applications.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.6 Problems .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7 Motion of Curves and Solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.1 Kinematics of Two-Dimensional Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.2 Mapping Two-Dimensional Curve Motion
into Nonlinear Integrable Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.3 The Time Evolution of Length and Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.4 Cartan Theory of Three-Dimensional Curve Motion . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.5 Kinematics of Three-Dimensional Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Contents xiii
7.6 Mapping Three-Dimensional Curve Motion
into Nonlinear Integrable Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.7 Problems .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8 Theory of Motion of Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.1 Differential Geometry of Surface Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.2 Coordinates and Velocities on a Fluid Surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.3 Kinematics of Moving Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.4 Dynamics of Moving Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.5 Boundary Conditions for Moving Fluid Interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.6 Dynamics of the Fluid Interfaces .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.7 Problems .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Part II Solitons and Nonlinear Waves on Closed Curves
and Surfaces
9 Kinematics of Hydrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.1 Lagrangian vs. Eulerian Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.1.2 Geometrical Picture for Lagrangian vs. Eulerian . . . . . . . . . 181
9.2 Fluid Fiber Bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.2.2 Motivation for a Geometrical Approach .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.2.3 The Fiber Bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.2.4 Fixed Fluid Container . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.2.5 Free Surface Fiber Bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.2.6 How Does the Time Derivative of Tensors
Transform from Euler to Lagrange Frame? . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.3 Path Lines, Stream Lines, and Particle Contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.4 Eulerian–Lagrangian Description for Moving Curves. . . . . . . . . . . . . . 203
9.5 The Free Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.6 Equation of Continuity .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.6.2 Solutions of the Continuity Equation
on Compact Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.7 Problems .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10 Dynamics of Hydrodynamics .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.1 Momentum Conservation: Euler and Navier–Stokes
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.2 Boundary Conditions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10.3 Circulation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.4 Surface Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
10.4.1 Physical Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
10.4.2 Minimal Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
10.4.3 Application.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
xiv Contents
10.4.4 Isothermal Parametrization .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10.4.5 Topological Properties of Minimal Surfaces . . . . . . . . . . . . . . 244
10.4.6 General Condition for Minimal Surfaces .. . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.4.7 Surface Tension for Almost Isothermal
Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.5 Special Fluids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
10.6 Representation Theorems in Fluid Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
10.6.1 Helmholtz Decomposition Theorem in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . 250
10.6.2 Decomposition Formula for Transversal
Isotropic Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10.6.3 Solenoidal–Toroidal Decomposition Formulas . . . . . . . . . . . 256
10.7 Problems .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
11 Nonlinear SurfaceWaves in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
11.1 KdV Equation Deduction for Shallow Waters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
11.2 Smooth Transitions Between Periodic and Aperiodic
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
11.3 Modified KdV Equation and Generalizations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
11.4 Hydrodynamic Equations Involving
Higher-Order Nonlinearities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
11.4.1 A Compact Version for KdV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
11.4.2 Small Amplitude Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
11.4.3 Dispersion Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
11.4.4 The Full Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
11.4.5 Reduction of GKdV to Other Equations
and Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
11.4.6 The Finite Difference Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11.5 Boussinesq Equations on a Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
12 Nonlinear SurfaceWaves in Two Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
12.1 Geometry of Two-Dimensional Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
12.2 Two-Dimensional Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
12.3 Two-Dimensional Fluid Systems with Boundary .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12.4 Oscillations in Two-Dimensional Liquid Drops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
12.5 Contours Described by Quartic Closed Curves .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
12.6 Surface Nonlinear Waves in Two-Dimensional
Liquid Nitrogen Drops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
13 Nonlinear SurfaceWaves in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
13.1 Oscillations of Inviscid Drops: The Linear Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
13.1.1 Drop Immersed in Another Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
13.1.2 Drop with Rigid Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
13.1.3 Moving Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
13.1.4 Drop Volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
13.2 Oscillations of Viscous Drops: The Linear Model.. . . . . . . . . . . . . . . . . 327
13.2.1 Model 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Contents xv
13.3 Nonlinear Three-Dimensional Oscillations
of Axisymmetric Drops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
13.3.1 Nonlinear Resonances in Drop Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . 351
13.4 Other Nonlinear Effects in Drop Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
13.5 Solitons on the Surface of Liquid Drops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
13.6 Problems .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
14 Other Special Nonlinear Compact Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
14.1 Nonlinear Compact Shapes and Collective Motion.. . . . . . . . . . . . . . . . 373
14.2 The Hamiltonian Structure for Free Boundary
Problems on Compact Surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
Part III Physical Nonlinear Systems at Different Scales
15 Filaments, Chains, and Solitons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
15.1 Vortex Filaments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
15.1.1 Gas Dynamics Filament Model and Solitons . . . . . . . . . . . . . 391
15.1.2 Special Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
15.1.3 Integration of Serret–Frenet Equations for Filaments . . . . 395
15.1.4 The Riccati Form of the Serret–Frenet Equations.. . . . . . . . 397
15.2 Soliton Solutions on the Vortex Filament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
15.2.1 Constant Torsion Vortex Filaments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
15.2.2 Vortex Filaments and the Nonlinear
Schr¨odinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
15.3 Closed Curves Solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
15.4 Nonlinear Dynamics of Stiff Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
15.5 Problems .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
16 Solitons on the Boundaries of Microscopic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
16.1 Solitons as Elementary Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
16.2 Quantization of Solitons on a Closed Contour and Instantons . . . . . 414
16.3 Clusters as Solitary Waves on the Nuclear Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
16.4 Solitons and Quasimolecular Structure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
16.5 Soliton Model for Heavy Emitted Nuclear Clusters . . . . . . . . . . . . . . . . 428
16.5.1 Quintic Nonlinear Schr¨odinger Equation
for Nuclear Cluster Decay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
16.6 Contour Solitons in the Quantum Hall Liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
16.6.1 Perturbative Approach.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
16.6.2 Geometric Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
17 Nonlinear Contour Dynamics in Macroscopic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . 445
17.1 Plasma Vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
17.1.1 Effective Surface Tension
in Magnetohydrodynamics and Plasma Systems. . . . . . . . . . 445
17.1.2 Trajectories in Magnetic Field Configurations . . . . . . . . . . . . 446
17.1.3 Magnetic Surfaces in Static Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
xvi Contents
17.2 Elastic Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
17.3 Curvature Dependent Nonlinear Diffusion on Closed Surfaces. . . . 464
17.4 Nonlinear Evolution of Oscillation Modes
in Neutron Stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
18 Mathematical Annex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
18.1 Differentiable Manifolds .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
18.2 Riccati Equation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
18.3 Special Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
18.4 One-Soliton Solutions for the KdV, MKdV,
and Their Combination.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
18.5 Scaling and Nonlinear Dispersion Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

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